1: góc MAO+góc MBO=180 độ

=>MAOB nội tiếp

2: góc ACD=1/2*sđ cung AD=90 độ

ΔMAD vuông tại A có AC là đường cao

nên MA^2=MC*MD

Xét (O) có

MA,MB là tiếp tuyến

=>MA=MB

mà OA=OB

nên OM là trung trực của AB

=>OM vuông góc AB tại H

=>MH*MO=MA^2=MC*MD

1: Xét tứ giác EAOM có \(\widehat{EAO}+\widehat{EMO}=90^0+90^0=180^0\)

nên AEMO là tứ giác nội tiếp

2: Xét tứ giác AQMP có \(\widehat{APM}=\widehat{AQM}=\widehat{PAQ}=90^0\)

nên AQMP là hình chữ nhật

=>AM cắt PQ tại trung điểm của mỗi đường

mà I là trung điểm của PQ

nên I là trung điểm của AM

=>I nằm trên đường trung trực của AM(1)

Xét (O) có

EA,EM là các tiếp tuyến

Do đó: EA=EM

=>E nằm trên đường trung trực của AM(2)

Ta có: OA=OM

=>O nằm trên đường trung trực của AM(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra E,I,O thẳng hàng

a) \(\Delta ABM\) nội tiếp đường tròn (O) có bán kính AB

=> \(\Delta ABM\) vuông tại M

b) Xét \(\Delta ABM\) vuông tại M, đường cao MH

=> \(AB^2+BH^2=25\)

=> AB =5

Ta có: MH .BC = MA.MB

=> MH =2,4

c) \(\Delta AMC\) vuông tại M, MN là tiếp tuyến 

=> MN = NA= NC =AC/2

Xét \(\Delta OAN\) và \(\Delta OMN\) có:

OA =OH =R

ON chung

NA  = NM

=> \(\Delta OAN=\Delta OMN\)

=> \(\widehat{OAN}=\widehat{OMN}=90^o\)

=> MN \(\perp\) OM

mà M thuộc (O)

=> MN là tiếp tuyến của (O)

d) Ta có: ON là tia phân giác \(\widehat{AOM}\)

OD là phân giác góc BOM

\(\widehat{AOM}=\widehat{BOM}\) (kề bù)

=> ON\(\perp\)OD

Xét \(\Delta NOD\) vuông tại O, đường cao OM

\(OM^2=NA.DB=>R^2=NA.DB\) (đpcm)

a: Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp 

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

Ta có: ΔMAB vuông tại M

=>\(MA^2+MB^2=AB^2\)

=>\(AB^2=3^2+4^2=25\)

=>AB=5(cm)

Xét ΔMAB vuông tại M có MH là đường cao

nên \(MH\cdot AB=MA\cdot MB\)

=>\(MH\cdot5=3\cdot4=12\)

=>\(MH=\dfrac{12}{5}=2,4\left(cm\right)\)

b: Ta có: ΔAMB vuông tại M

=>AM\(\perp\)MB tại M

=>AM\(\perp\)BC tại M

=>ΔAMC vuông tại M

Ta có: ΔMAC vuông tại M

mà MN là đường trung tuyến

nên MN=NA=NC

Xét ΔNAO và ΔNMO có

OA=OM

NA=NM

NO chung

Do đó: ΔNAO=ΔNMO

=>\(\widehat{NAO}=\widehat{NMO}\)

mà \(\widehat{NAO}=90^0\)

nên \(\widehat{NMO}=90^0\)

=>NM là tiếp tuyến của (O)

c: Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

Do đó: DM=DB và OD là phân giác của góc MOB

OD là phân giác của góc MOB

=>\(\widehat{MOB}=2\cdot\widehat{MOD}\)

Ta có: ΔNAO=ΔNMO

=>\(\widehat{AON}=\widehat{MON}\)

mà tia ON nằm giữa hai tia OA,OM

nên ON là phân giác của góc AOM

=>\(\widehat{AOM}=2\cdot\widehat{NOM}\)

Ta có: \(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(2\cdot\left(\widehat{NOM}+\widehat{DOM}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\widehat{NOD}=180^0\)

=>\(\widehat{NOD}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)

Xét ΔNOD vuông tại O có OM là đường cao

nên \(OM^2=MN\cdot MD\)

=>\(NA\cdot BD=OM^2=R^2\)